Lý thuyết lũy thừa

1. Khái niệm lũy thừa.

Lũy thừa là các biểu thức dạng x^α, trong đó x,α là những số thực, x được gọi là cơ số, α được gọi là số mũ. Lũy thừa có các tính chất sau:

(1) Nếu x ∈ ℝ thì  ∀n ∈ ℤ⁺, xⁿ =  ( định nghĩa).

(2)  Nếu x # 0 thì ∀n ∈ ℤ⁺,  x^-n = , x⁰ = 1 ( định nghĩa).

(3) Nếu x > 0 thì ∀m, n ∈ ℤ( n ≥ 2),  = ( định nghĩa).

(4) Nếu x < 0 thì ∀α ∈ ℝ , x^-α =.

(5) ∀x, > 0, ∀α, β ∈ ,ℝ x^α .x^β = x^α+β; x^α  : x^β = x^α-β; (x^α)^β = x^αβ (tính chất các lũy thừa cùng cơ số).

(6)∀x,y > 0, ∀α ∈ ℝ  (xy)^α= x^α.y^α ; (x:y)^α = x^α: y^α ( tính chất lũy thừa cùng số mũ).

(7) Nếu a> 1 thì ∀x₁, x₂ ∈ R, a^x1>a^x2 ⇔ x₁ > x₂ : nếu 0<a1, x₂ ∈ ℝ , a^x1 > a^x2 ⇔ x₁ <  x₂ ( so sánh hai lũy thừa cùng cơ số).

2. Sử dụng máy tính cầm tay để tính các căn và lũy thừa của một số 

Tuy sách giáo lkhoa (SGK) không trình bày cách tính các căn và lũy thừa của một số nhưng trong thực tế đa số các học sinh đều sử dụng một trong các loại máy CASIO

fx-500 hoặc fx-570 (MS hoặc ES hoặc ES Plus). Vì vậy chúng tôi cũng giới thiệu vắn tắt cách tính thông qua một số ví dụ để các em tiện sử dụng:

1) Tính căn của một số: Trước hết các em phải vào mode tính toán bằng cách ấn các phím MODE,1. Sau đó nhập số cần lấy căn kết thúc nhấn phím = ta được kết quả. Với căn bậc hai và căn bậc ba thì không cần nhập chỉ số căn, với các căn bậc bốn trở lên thì các em cần nhập chỉ số căn (các máy CASIO fx-500 MS và CASIO fx-570 MS các em nhập chỉ số căn ấn các phím SHIFT,  máy CASIO fx-570MS các em ấn các phím SHIFT,  nhập chỉ số , sau đó nhập số cần lấy căn cuối cùng ấn phím = để được kết quả.

Ví dụ 1. Để tính  các em (sau khi đã vào mode)cần ấn các phím √, 2, 3, ., 4, 2, 5, = . Màn hình hiện thị kết quả   4.839938016. Làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy được kết quả là  = 4,8399.

Ví dụ 2. Tính . Ta ấn lên tiếp các phím SHIFT, , 8, ., 5, 3, 2, = màn hình hiện thị kết quả 2.043385382. Làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy ta được kết quả là = 2,0434.

Ví dụ 3. Tính .

- Với các máy CASIO fx- 500 MS và CASIO fx-570 MS, ấn liên tiếp các phím 7, SHIFT, , 3, 2, 0, = màn hình hiện kết quả 2.279704562. Làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy ta được kết quả  ≈  2,2797.

- Với máy CASIO fx-570 ES, ấn liên tiếp các phím SHIFT, , 7, , 3, 2, 0,=. Ta cũng được kết quả như trên.

2) Tính lũy thừa của một số: Vào mode tính toán, nhập cơ số, ấn phím số mũ, nhập số mũ, ấn phím = ta được kết quả. (Với các máy CASIO fx-500 MS và CASIO fx- 579 MS thì ấn phím số mũ là ấn phím ; với máy CASIO fx-570 ES thì ấn phím số mũ là ấn phím ).

Ví dụ: Sử dụng máy tính cầm tay , tính .

Với máy CASIO fx-500 MS và CASIO fx- 570 MS ấn liên tiếp: (, 0, ., 5, , ,2, ), , , 8, = màn hình sẽ hiện kết quả là 0,0625. Vậy = 0,0625 √√^x^□ )

Xem thêm tại: http://loigiaihay.com/ly-thuyet-luy-thua-c47a4054.html#ixzz4EaVM8Q45

Đọc tiếp

Lý thuyết hàm số lũy thừa

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y= x^α, với α là một số thực đã cho. Các hàm số  lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α: 

- Nếu α ∈ ℤ⁺ thì tập các định là ℝ.

- Nếu α ∈ ℤ ℤ⁺ thì tập các định là ℝ{0}.

- Nếu α ∈ ℤ thì tập các định là (0; +∞).

Chú ý: Hàm số y=  có tập xác định là [0;+∞), hàm số y=  có tập xác định ℝ, trong khi đó các hàm y= , y=  đều có tập xác định (0; +∞). Vì vậy  y=  và y=  ( hay y=  và y=  ) là những hàm số khác nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát 

- Hàm số y= x^α  có đạo hàm tai mọi x ∈ (0; +∞) và (x^α)^’= αx^α-1

- Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số 

y= u^α(x) cũng có đạo hàm trên J và (u^α(x))^’= αu^α-1(x)u’(x).

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa y= xⁿ có tập xác định là ℝ và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x, (xⁿ)^’= nx^n-1 và  ∀x ∈ J, (uⁿ(x))^’= nu^n-1(x)u^’(x) nếu u= u(x) có đạo hàm trong khoảng J.

4. Đạo hàm của hàm số  lũy thừa với số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa y= xⁿ có tập xác định là ℝ và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x # 0,(xⁿ)^’= nx^n-1 và  ∀x ∈ J, (uⁿ(x))^’= nu^n-1(x)u^’(x) nếu  u= u(x) # 0 có đạo hàm trong khoảng J.

5. Đạo hàm của căn thức 

Hàm số có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa  ( tập xác định của y=  chứa tập xác định của  y=  và trên tập xác định của y=  hai hàm số trùng nhau).

Khi n lẻ thì hàm số y=  có tập xác định ℝ. Trên khoảng (0; +∞) ta có y=  =  và = , do đó = . Công thức này còn đúng cả với x < 0 và hàm số y=  không có đạo hàm tại x= 0.

Khi n chẵn hàm y=  có tập xác định là  [0;+∞), không có đạo hàm tại x= 0 và có đạo hàm tại mọi x > 0 tính theo công thức

 = .

Tóm lại, ta có    đúng với mọi x làm cho vế phải có nghĩa. Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu u=u(x) là hàm có đạo hàm trên khoảng J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0, ∀x ∈ J khi n chẵn, u(x) # 0, ∀x ∈ J khi n llẻ thì ∀x ∈ J, 

6. Đồ thị hàm số y=x^α trên khoảng (0; +∞)

Chú ý khi khảo sát hàm số y= x^α với α cụ thể cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó( chứ không phải chỉ xét trên khoảng (0; +∞) như trên).

Đọc tiếp

Lý thuyết lôgarit

1. Định nghĩa

Cho hai số dương a, b với a#1. Nghiệm duy nhất cảu phương trình a^x=b được gọi là

log_ab ( tức là số α có tính chất là a^α= b). Như vậy =   a^α= b.

2. Loogarit thập phân và lôgarit tự nhiên

Trong đời sống và trog tự nhiên nghiên cứu, ta thường gặp và thường sử dụng loogarit thập phân và loogarit tự nhiên.

Lôgarit cơ số 10 còn được gọi là loogarit thập phân, số 

log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

Loogarit cơ số e ( e=  ≈ 2,718281828459045) còn được gọi là loogarit tự nhiên, số log_eb thường được viết là lnb.

3. Tính chất của lôgarit

Loogarit có các tính chất rất lphong phú, có thể chia ra thành các nhóm sau đây.

1) Loogarit của đơn vị và loogarit của cơ số:

Với cơ số tùy ý, ta luôn có log_a1 = 0 và log_aa= 1.

2) Phép mũ hóa và phép lôgarit hóa theo cùng cơ số( mũ hóa số thực α theo co số a là tính a^α; loogarit hóa số dương b theo cơ số a là tính log_ab) là hai phép toán ngược nhau ∀a >0 (a#1),  ∀b> 0,  = b và ∀a >0 (a#1),  = α.

3) Loogarit và các phép toán: Phép loogarit hóa biến phép nhân thành phép cộn, phép chia thành phép trừ, phép nâng lên lũy thừa thành phép nhân, phép khai căn thành phép chia, cụ thể là 

∀a,b_1,b₂ > 0 ( a#1), log_a(b₁b₂)= log_ab₁ + log_ab_2,

                             log_a(b₁:b₂)= log_ab₁ - log_ab_2;

và  ∀a,b >0 (a#1),  ∀α, log_ab^α= αlog_ab, .

4) Đổi cơ số: Có thể chuyển các phép lấy loogarit theo những cơ số khác nhau về việc tính loogarit theo cùng một cơ số chung, cụ thể là 

∀a,b,c  >0 (a, c#1), log_ab =  .

Đặc biệt ∀a,b >0 (a,b #1) log_ab= 

và   ∀a,b >0 (a#1), ∀α, β (α# 0), , .

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính lôgarit

Cũng giông như tính các lũy thừa, có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính lôgarit. Để làm điều này, trước tiên các em phải bảo đảm máy tính đang làm việc trong môi trường tính toán bằng cách án các phím MODE, 1. Các máy CASIO fx-500 MS và CASIO fx-570 MS chỉ có chức năng tính trực tiếp các lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên, để tính các loogarit cơ số khác, các em phải dùng công thức đổi cơ số để đưa bài toán về việc tính hai loại loogarit đó. Máy CASIO fx-5770 ES, ngoài tính năng tính hai lại lôgarit vừa nói, còn có chức năng tính trực tiếp các loogarit với cơ số tùy ý. Các em có thể học được cách sử dụng máy tính cầm tay để tính loogarit qua tìm hiểu các ví dụ sau:

1) Tính log5,63 các em ấn liên tiếp; log, 5, ., 6, 3, màn hình hiện kết quả 0,750508395 ( máy CASIO fx-500MS và CASIO fx- 570MS) hoặc 0,7505083949 ( máy CASIO fx-50 ES).

2) Tính ln4,83 các em ấn liên tiếp: ln, 4, ., 8, 3, màn hình hiện thị kết quả 1.574846468 

3) Tính log₃5: 

- Dùng máy CASIO fx-500MS và CASIO fx-570 MS, các em cần đổi về loogarit thập phân hoặc tự nhiên. Ta làm như sau: viết log₃5= . Từ đó ấn liên tiếp các phím ln, 5, , ln, 3, =. Màn hình hiện kết quả 1,464973521.

- Dùng máy CASIO fx-570 ES các em ấn các phím: log_□(□), 3, , 5, =. Màn hình cũng hiện thị kết quả

Đọc tiếp

Lý thuyết hàm số mũ, hàm số lôgarit

1. Định nghĩa

Hàm số mũ là hàm số có dạng y= a^x, hàm số lôgarit là hàm số có dạng  y = log_ax ( với cơ số a dương khác 1).

2. Tính chất của hàm số mũ y= a^x ( a > 0, a# 1).

- Tập xác định: .

- Đạo hàm: ∀x ∈ ,y^’= a^xlna.

- Chiều biến thiên           Nếu a> 1 thì hàm số luôn đồng biến

                                    Nếu 0< a < 1 thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: trục Ox là tiệm cận ngang.

- Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành (  y= a^x  > 0, ∀x), và luôn cắt trục tung taih điểm ( 0;1) và đi qua điểm (1;a).

3. Tính chất của hàm số lôgarit y = log_ax (a> 0, a# 1).

- Tập xác định: (0; +∞).

- Đạo hàm ∀x ∈ (0; +∞),y^’ = .

- Chiều biến thiên:  Nếu a> 1 thì hàm số luôn đồng biến

                             Nếu 0< a < 1 thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng.

- Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm (1;0) và đi qua điểm (a;1).

4. Chú ý 

- Vì e > 1 nên nếu a > 1 thì lna > 0, suy ra (a^x)^’ > 0,∀x và (log_ax)^’ > 0, ∀x > 0; 

do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.

Tương tự, nếu 0 < a< 1thì lna < 0, (a^x)^’ < 0 và (log_ax)^’ < 0, ∀x > 0; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.

- Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành

                            (ln|x|)^’  = , ∀x # 0 và (log_a|x|)^’ = , ∀x # 0.

Đọc tiếp