Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

1. Công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm M(a;b;c)$M(a;b;c)$ và mặt phẳng (P)$(P)$ có phương trình: Ax+By+Cz+D=0$Ax+By+Cz+D=0$. Khi đó khoảng cách từ điểm M$M$ tới mặt phẳng (P)$(P)$ được xác định như sau:

d(M,(P))=|Aa+Bb+Cc+D|A2+B2+C2−−−−−−−−−−−√

2. Phương trình mặt cầu

a. Phương trình mặt cầu tâm I(x0;y0;z0)$I(x_0;y_0;z_0)$, bán kính R$R$ là: (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=R2$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2$

b. x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0$x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi a2+b2+c2>d$a^2+b^2+c^2>d$. Khi đó mặt cầu có tâm là I(−a;−b;−c)$I(-a;-b;-c)$ và bán kính là R=a2+b2+c2−d−−−−−−−−−−−−−√$R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$

Vậy là chúng ta đã có các công cụ cần thiết chính để làm bài tập dạng này rồi. Giờ chúng ta cùng nhau vào bài giảng nhé:

3. Bài tâp khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Bài tập 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I(−1;4;−2)$I(-1;4;-2)$ và tiếp xúc với mặt phẳng (P):3x−y−2z−11=0$(P):3x-y-2z-11=0$.

Lời giải:

Để lập được phương trình mặt cầu chúng ta cần biết tâm và bán kính mặt cầu. Vậy trong bài toán này ta cần đi xác định thêm bán kính của mặt cầu.

Ta biết rằng mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P)$(P)$ nên khoảng cách từ I$I$ tới mặt phẳng (P)$(P)$ chính là bán kính R$R$ của mặt cầu.

Ta có: R=d(I,(P))=|3.(−1)−1.4−2.(−2)−11|32+(−1)2+(−2)2−−−−−−−−−−−−−−−√=1414−−√=14−−√$R=d_{(I,(P))}={\displaystyle \frac{|3.(-1)-1.4-2.(-2)-11|}{\sqrt{3^2+(-1{)}^2+(-2{)}^2}}}={\displaystyle \frac{14}{\sqrt{14}}}=\sqrt{14}$

Vậy phương trình mặt cầu là: (x+1)2+(y−4)2+(z+2)2=14$(x+1{)}^2+(y-4{)}^2+(z+2{)}^2=14$

Bài tập 2: Tìm m$m$ để mặt phẳng (P):3x−2y+6z+2(m−1)=0$(P):3x-2y+6z+2(m-1)=0$ tiếp xúc với mặt cầu (S):x2+y2+z2+6x−2z+1=0$(S):x^2+y^2+z^2+6x-2z+1=0$

Lời giải:

Để làm được bài toán này các bạn cần xác định được 2 yếu tố:

1. Tâm và bán kính mặt cầu S$S$

2. Xác định điều kiện tiếp xúc của mặt phẳng và mặt cầu

Sau khi xác định được hướng đi thì các bạn sẽ trình bày như sau:

Bước 1: Ta cần xác định tâm và bán kính mặt cầu S$S$: Tâm I(−3;0;1)$I(-3;0;1)$, bán kính R=9+0+1−1−−−−−−−−−−√=3$R=\sqrt{9+0+1-1}=3$

Bước 2: Mặt cầu S$S$ tiếp xúc với mặt phẳng P$P$ khi và chỉ khi:

R=d(I,(P))⇔|3.(−3)−2.(0)+6.(1)+2.(m−1)|9+4+36−−−−−−−−√=3$R=d_{(I,(P))}\iff {\displaystyle \frac{|3.(-3)-2.(0)+6.(1)+2.(m-1)|}{\sqrt{9+4+36}}}=3$

⇔|2m−5|=21⇔[2m−5=212m−5=−21⇔[m=13m=−8$\iff |2m-5|=21\iff [\begin{array}{}2m-5=21\\ 2m-5=-21\end{array}\iff [\begin{array}{}m=13\\ m=-8\end{array}$

Vậy m=13$m=13$ hoặc m=−8$m=-8$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 3: Tìm điểm M$M$ trên trục oy$oy$ cách đều hai mặt phẳng 2x−4y−4z+2=0$2x-4y-4z+2=0$ và 3x+2y−6z−5=0$3x+2y-6z-5=0$.

Lời giải:

Đây là một bài toán rất hay, và để làm được bài toán này các bạn cần phân tích được bài toán theo hướng sau:

1. Điểm M$M$ thuộc oy$oy$ thì nó có tọa độ như thế nào?

2. Điểm M$M$ cách đều 2$2$ mặt phẳng thì điều kiện ra sao?

Trả lời được hai câu hỏi trên các bạn sẽ giải quyết được bài toán này. Các bước trình bày lời giải như sau:

Bước 1: Điểm M$M$ thuộc oy$oy$ nên có tọa độ là: M(0;m;0)$M(0;m;0)$

Bước 2: Điểm M$M$ cách đều hai mặt phẳng đã cho nên khoảng cách từ M$M$ tới hai mặt phẳng sẽ bằng nhau. Ta có:

d(M,(P))=d(M,(Q))⇔|−4m+2|4+16+16−−−−−−−−−√=|2m−5|9+4+36−−−−−−−−√$d_{(M,(P))}=d_{(M,(Q))}\iff {\displaystyle \frac{|-4m+2|}{\sqrt{4+16+16}}}={\displaystyle \frac{|2m-5|}{\sqrt{9+4+36}}}$

⇔7.|−4m+2|=6.|2m−5|⇔[7.(−4m+2)=6.(2m−5)7.(−4m+2)=−6.(2m−5)⇔⎡⎣m=1110m=−1$\iff 7.|-4m+2|=6.|2m-5|\iff [\begin{array}{}7.(-4m+2)=6.(2m-5)\\ 7.(-4m+2)=-6.(2m-5)\end{array}\iff [\begin{array}{}m={\displaystyle \frac{11}{10}}\\ m=-1\end{array}$

Vậy m=1110$m={\displaystyle \frac{11}{10}}$ hoặc m=−1$m=-1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.