Bài 9 trang 12 sgk hình học

Bài 9. Chứng minh rằng  =  khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD  và BC trùng nhau.

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho   =  thì AD và BC có trung điểm trùng nhau. Gọi I là trung điểm của AD ta chứng minh I cũng là trung điểm của BC.

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có  =  + ;

                                                             = + 

Vì  =  nên  +  =  + 

                          =>  -  =  - 

                          =>  +  =  +               (1)

Vì I là trung điểm của AD nên   +  =                (2)

Từ (1) và (2) suy ra  +  =                                (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ I là trung điểm của BC.

b) AD và BC  có chung trung điểm I, ta chứng minh  = .

I là trung điểm của AD    =>   +  =    =>  -  =

I là trung điểm của BC    =>  +  =     =>   - = 

Suy ra   -  =   -  

         =>  +  =  +     =>   = (đpcm)